Фамилия Шагайлямов — редкая, и её разбор требует внимания к каждой морфеме. Сразу видно, что она образована по распространённой русской модели с суффиксом -ов, который указывает на принадлежность («чей?»). Основа же — тюркское имя или прозвище Шагайлям.

Корень здесь — «шагай». В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) слово «шагай» имеет несколько значений. Самое вероятное — «галка» или «грач». Птица в прозвищах часто символизировала либо внешность (тёмные волосы, чёрные глаза), либо черту характера — крикливость, суетливость, общительность. Вторая часть — «лям» — это, скорее всего, аффикс, образующий имя. В татарской антропонимии есть суффикс -ләм/-лям, который придаёт слову ласкательный или уменьшительный оттенок, как русские -ка, -енька. Таким образом, Шагайлям — это ласковое прозвище от «шагай»: «галчонок», «галочка», «чернявенький».

Есть и другая, менее вероятная версия: «шагай» может восходить к глаголу со значением «шагать», «идти», но в тюркских языках этот глагол звучит иначе (например, «атлау»). Поэтому «птичья» этимология убедительнее.

Фамилия Шагайлямов — типичный пример того, как русский суффикс -ов «прирастает» к тюркскому личному имени. Носители такой фамилии, скорее всего, происходят из волго-уральского региона (Татарстан, Башкортостан, Оренбуржье), где веками жили тюркские народы, принимавшие православие и получавшие русские фамилии по отцу. Первым Шагайлямовым мог быть человек, которого в деревне знали как Шагайляма — внука или сына Шагая. В метрических книгах и ревизских сказках XIX века такая фамилия встречается крайне редко, что говорит о её локальном характере: возможно, она принадлежала одному роду в конкретном селе.

Словообразовательно фамилия прозрачна: основа Шагайлям + суффикс принадлежности -ов. Ударение, по аналогии с большинством фамилий на -ов, падает на последний слог — Шагайля́мов. Однофамильцев у вас, скорее всего, немного, и все они — дальние родственники по мужской линии.