Фамилия Шаюнова — женская форма, а мужская, Шаюнов, образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: с помощью суффикса -ов, который присоединяли к основе, оканчивающейся на твёрдый согласный. В данном случае основа — Шаюн. Это прозвище или мирское имя, которое и стало ядром фамилии.

Корень здесь, скорее всего, связан с глаголом «шаять», что в некоторых русских говорах означало «пылать», «гореть жарко», «издавать сильный жар». Соответственно, Шаюном могли прозвать человека с горячим, вспыльчивым нравом — «огненного», запальчивого. Вторая, менее вероятная, версия отсылает к диалектному слову «шайка» в значении «толпа» или «ватага»: прозвище мог получить главарь, заводила. Однако в этом случае ожидалась бы форма Шайков или Шайкин, а не Шаюнов, поэтому версия с «шаять» выглядит убедительнее.

Суффикс -ун в русском языке активно использовался для образования имён по характерному действию или свойству: бегун, крикун, ворчун. Шаюн — человек, который «шает», то есть кипятится, горячится. Такие прозвища давали не в обиду, а как меткую бытовую характеристику, которая закреплялась за родом. В документах XVII–XVIII веков встречаются похожие фамилии — Шаянов, Шаев, — что подтверждает продуктивность этого корня в северных и центральных областях России, особенно в Вятском и Пермском краях.

Фамилия Шаюнова не относится к числу дворянских или старых княжеских — её носители, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми. Встречается она преимущественно в Поволжье и в регионах, куда шло переселение из центральной России. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на переписи населения XIX века по Нижегородской, Вятской или Казанской губерниям — там фамилия фиксируется, хоть и не массово.