Фамилия Щаврук звучит необычно, и её разбор сразу уводит в область редких словообразовательных моделей. В ней нет привычного русского суффикса -ов или -ин, что говорит о позднем или иноязычном происхождении. Основой, скорее всего, послужило слово «щавель» (или его диалектные варианты «щав», «щаве́й»). Корень «щав-» — общеславянский, обозначающий кислую траву, известную в народной кухне и медицине.

Суффикс -ук типичен для западноукраинских и белорусских фамилий, где он выполнял роль уменьшительности или указывал на принадлежность к роду (ср. Грищук, Павлюк). Таким образом, Щаврук — это не «сын Щавра», а скорее «маленький щавель» или «тот, кто связан со щавлем». В народе могли прозвать так человека с кислым, ворчливым характером, либо того, кто жил возле зарослей щавеля или торговал им на базаре. Вторая версия — прозвище по занятию: сборщик или продавец щавеля, что было вполне реальным промыслом в деревнях.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам Украины (Волынь, Галиция) и югу Беларуси. Она встречается редко, что подтверждает её локальный, а не общерусский характер. В старых метрических книгах и ревизских сказках XVIII–XIX веков её почти нет, что говорит о позднем закреплении или о том, что носители были из крестьянского сословия, не всегда попадавшего в дворянские родословные.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Щавелев, Щавлинский) показывает, что Щаврук — более «домашняя», просторечная форма. Если Щавелев мог получить образованный человек или священник, то Щаврук — это прозвище, данное в быту, которое потом стало фамилией. Единственный спорный момент: не могла ли основа быть не растительной, а от имени Щавр (гипотетического, не зафиксированного)? Вероятность мала — в славянской ономастике таких имён нет. Так что кислый вкус или характер — самое правдоподобное объяснение.