Фамилия Щемет — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, без типичных суффиксов -ов, -ин или -ский. Она так и осталась в форме чистого прозвища или имени, что указывает на её возможное позднее закрепление или на происхождение из среды, где фамилии оформлялись не по великорусской модели.

Корень здесь — «щем-», родственный глаголу «щемить» (давить, сжимать, причинять боль). В диалектах слово «щемет» могло означать либо тесноту, стеснённое положение, либо, что вероятнее, скупого, прижимистого человека — того, кто «жмёт» и «давит» при расчётах. Такое прозвище давали либо скряге, либо человеку, который постоянно жаловался на нужду и тесноту. Второй вариант — прозвище по поведению: «щемить» в переносном смысле значило «докучать, приставать». Тогда Щемет — это надоедливый, нудный человек.

Модель образования без суффикса — архаичная. В древнерусской антропонимии так называли людей по их яркой черте: например, Безсон, Нелюб, Щемет. Встречается такая фамилия преимущественно на западе и юго-западе России, а также в Беларуси и на Украине, где подобные «голые» основы сохранялись дольше, чем в центральных областях.

Спорной можно считать версию о связи с польским «szczemię» (щенок) — она возможна, но маловероятна, так как фонетически «щемет» ближе к восточнославянскому глагольному корню. К тому же фамилия Щеметов (с суффиксом) встречается чаще, чем Щемет, и её происхождение от «щемить» сомнений не вызывает.

В итоге: предки носителя фамилии Щемет, скорее всего, получили её за характер — за скупость, навязчивость или постоянные жалобы на тяжёлую долю. Фамилия не указывает на ремесло или знатное происхождение, а фиксирует бытовую оценку человека в русской или белорусской деревне.