Фамилия Шеремирова — женская форма, а её мужской вариант — Шеремиров. В русской традиции такие фамилии обычно образовывались с помощью патронимического суффикса -ов, то есть буквально означали «чей?» — из рода Шеремира. Но вот что скрывается за основой «Шеремир» — вопрос куда более интересный и неоднозначный.

Самая вероятная версия ведёт к составному имени или прозвищу Шеремир. Первая часть, «шере-», восходит к древнерусскому глаголу «шереть» (тереть, скрести, царапать) или к слову «шершавый». В диалектах «шеремирить» могло означать «ссориться, браниться, ворчать». Вторая часть — «-мир» — один из самых частых компонентов в древнерусских именах (вроде Владимир, Любомир). Получается, что Шеремир — это человек с «шершавым», то есть неуживчивым, ворчливым нравом, но в рамках вполне традиционной модели имени. Такие «охранительные» или характеризующие имена в дохристианской Руси были обычным делом.

Встречается и более редкая, но не лишённая оснований гипотеза — о связи с тюркским корнем. В тюркских языках есть слова, звучащие как «шер» или «шир» (лев, храбрый), а «мир» могло быть адаптированным компонентом. Однако для фамилии, распространённой в центральной России, славянская версия выглядит убедительнее: фамилия органично вписывается в ряд таких же «характерных» фамилий, как Грознов, Молчанов или Несмеянов.

Географически фамилия Шеремирова встречается нечасто. Её можно найти в старых переписях Вологодской, Костромской и Ярославской губерний — то есть в зоне, где активно бытовали древненовгородские диалектные формы. Судя по суффиксу, это фамилия не дворянская, а крестьянская или посадская: в среде крестьянства такие прозвищные фамилии закреплялись особенно прочно.

В написании фамилии стоит обратить внимание на ударение: в большинстве говоров оно падает на третий слог — Шереми́рова. Встречается вариант с ударением на второй слог (Шере́мирова), но он менее характерен для исходной основы. Если ваши предки — Шеремировы из северных областей, скорее всего, их родоначальника прозвали Шеремиром за неуступчивый или «ершистый» характер, и это прозвище закрепилось за потомками на несколько столетий.