Фамилия Шеремук — редкий пример, где географический корень почти наверняка перевешивает любые другие версии. Её основа — «шерем» — отсылает к гидрониму Шерем, реке в Закарпатье (приток Тисы), а также к одноимённому селу Шеремово, которое раньше называли Шерем. Украинский суффикс -ук типичен для западных регионов, особенно для Буковины и Закарпатья: он указывал на принадлежность — «тот, кто с Шерема» или «житель Шеремова». Фактически, перед нами типичная «топонимическая» фамилия, каких много в Карпатах: человек получал прозвище по месту, откуда пришёл, а оно закреплялось за его потомками.

Менее вероятна, но возможна версия от тюркского «шерем» — «подарок, милость». В пользу неё говорит то, что на юге Украины и в Крыму встречаются фамилии Шеремет, Шереметьев, которые связывают с тюркским корнем. Но суффикс -ук для тюркских заимствований нехарактерен — он чисто славянский, западноукраинский. Поэтому версия с рекой Шерем выглядит убедительнее: она объясняет и форму, и ареал.

Фамилия Шеремук почти не встречается в центральной России и на востоке Украины. Её носители сосредоточены в Ивано-Франковской, Черновицкой и Закарпатской областях, а также среди украинской диаспоры. В дореволюционных метрических книгах фамилия могла записываться как Шеремюк, Шеремук или Шеремов — из-за неустойчивости украинской орфографии в XIX веке. Сословно предки, скорее всего, были крестьянами или мелкими ремесленниками: в Карпатах фамилии на -ук редко встречались у шляхты.

Если коротко: Шеремук — это «человек с Шерема». Не прозвище по характеру и не профессия, а метка, привязавшая семью к конкретному месту в украинских Карпатах.