Фамилия Шереверя звучит необычно, и причина этому — её украинское или белорусское происхождение. В отличие от типичных русских фамилий на -ов/-ев или -ин, она сохранила форму прозвища, которое и легло в основу. Суффикса как такового здесь нет: фамилия образована бессуффиксным способом от глагольной основы, что характерно для юго-западных земель.

Корень фамилии — «шеревер-», который восходит к диалектному глаголу «шереверить». В украинском и белорусском языках это слово означает «шевелиться, возиться, копошиться», а также «говорить без умолку, болтать». Соответственно, прозвище Шереверя давали человеку непоседливому, суетливому, либо, напротив, тому, кто любил «чесать языком». Вторая версия, менее распространённая, связывает основу с «шеревером» — так в некоторых говорах называли мелкую монету или «мелочь», и тогда прозвище могло относиться к торговцу разменной монетой или человеку, который «мельчит», экономит.

Фамилия фиксируется в исторических документах на территории Черниговщины, Полтавщины и в южных районах Беларуси. Встречается и вариант Шеревера, что подтверждает народное происхождение: в устной речи гласная на конце могла меняться. Социальный состав носителей был разнообразен — от казаков до крестьян, поскольку прозвище не указывало на сословную принадлежность, а описывало характер или поведение.

В русском языке фамилия не склоняется по падежам, если принадлежит мужчине (Шереверя, Шереверю, Шереверей), и склоняется, если женщине (Шеревери, Шереверю). Это типичная черта фамилий на -я, которые в русской среде часто воспринимаются как инородные, но в украинской традиции органичны.