Фамилия Шэвчук — украинская, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Формант -ук/-чук — один из главных маркеров западноукраинской и волынской ономастики. Он указывает на происхождение от отца: носитель такой фамилии — потомок человека, которого звали Шэвко. Исходная форма Шэвко — это, скорее всего, не имя, а прозвище, образованное от глагола «шэвтати» (шепелявить) или от диалектного «шэвкати» (бормотать, невнятно говорить). Так могли прозвать человека с дефектом речи.

Сложность в том, что фамилия пишется через «э», а не через «е» (Шевчук). В украинском языке буква «э» передаёт твёрдый звук, близкий к русскому «э». Это не опечатка: написание Шэвчук встречается в основном у носителей, чьи предки жили на территории, где в говорах не смягчали «ш» перед «е». Речь о юго-западных диалектах украинского языка — например, в некоторых районах Ивано-Франковской или Черновицкой областей. Там «шэ» звучало естественно, и при записи фамилии в метрических книгах или советских паспортах букву «э» могли оставить.

Корень «шэв-» родственен русскому «шепелявый», но точнее — украинскому «шепелявити». Впрочем, есть и вторая версия, менее популярная: прозвище Шэвко могли дать человеку, который шил или чинил обувь — от слова «швець» (сапожник). Но эта гипотеза слабее, потому что в украинском сапожника называли Швець, и фамилия от него — Шевченко (через суффикс -енко). Форма Шэвчук с суффиксом -ук плохо сочетается с ремесленной основой: от «швець» логичнее было бы Швецук, а не Шэвчук.

Географически Шэвчук — фамилия редкая. Основной массив носителей сосредоточен на западе Украины, особенно в Тернопольской и Львовской областях. В России она почти не встречается, а если и попадается, то чаще всего у потомков переселенцев конца XIX — начала XX века. В отличие от массовой фамилии Шевчук (с «е»), Шэвчук — это локальный вариант, который сохранил произносительную особенность диалекта.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает понять механизм: Шевченко — от «швець» (сапожник) через суффикс -енко; Шевчук — от того же корня, но через -ук; Шэвчук — то же, что Шевчук, но с диалектным произношением. Все три фамилии — украинские, но разница в написании указывает на разную языковую среду. Если ваш предок писался как Шэвчук, он, скорее всего, происходил из района, где «ш» не смягчали, а значит, его прозвище было связано с речью, а не с ремеслом.