Фамилия Шеверун — редкая и звучная, её происхождение напрямую связано с украинской или южнорусской языковой средой. В основе лежит глагол «шевелить» или производное от него «шеверувати» (в украинских говорах — «шевелиться, возиться, копаться»). Суффикс -ун в восточнославянских фамилиях (как в Говорун, Свистун, Болтун) указывает на деятеля: Шеверун — это тот, кто постоянно шевелится, суетится, не сидит на месте. Прозвище могли дать непоседливому, юркому или суетливому человеку, а может, и тому, кто занимался мелкой, хлопотной работой — например, перебирал зерно или ворошил сено.

Вторая, менее очевидная версия связывает фамилию с диалектным словом «шевер» — так в некоторых областях называли стружку, щепки или мусор. Тогда Шеверун — это прозвище уборщика, того, кто сметает сор, или человека, который работал с деревом и оставлял после себя много стружки. Однако первая версия выглядит убедительнее, поскольку суффикс -ун активнее образует названия людей по действию, а не по предмету.

Географически фамилия тяготеет к западу и югу России, а также к Украине. Встречается в Белгородской, Курской, Воронежской областях, где исторически сильны украинские говоры. Встречаются варианты написания через «и» — Шиверун, что связано с аканьем или диалектным произношением.

Сословная принадлежность предков Шеверунов, скорее всего, крестьянская или казачья. Фамилия не дворянская, не образована от имени или названия церковного праздника, а значит, её носители — выходцы из простонародья, получившие прозвище в быту за характер или занятие. В метрических книгах XIX века такие фамилии часто записывали без твёрдого окончания, просто Шеверун, а позже, при русификации, могли добавить типичный русский суффикс -ов, превратив в Шеверунов. Оба варианта существуют и сегодня, но Шеверун — более архаичная и прямая форма.