Фамилия Шеврекука — редкий случай, когда основа читается почти как анекдот, но за ней стоит живая диалектная лексика. Самая вероятная версия: прозвище Шеврекука сложили из двух частей. Первая — «шеврый», то есть «шепелявый» или «шершавый» (в северных и сибирских говорах так говорили о человеке с невнятной речью или о предмете с неровной поверхностью). Вторая — «кука»: во многих русских диалектах так называли кулак, сжатый кукиш, а иногда и самого чёрта или лешего. Выходит, что Шеврекука — прозвище человека, который, скажем, невнятно ворчал и при этом грозил кулаком. Либо — более шутливое: «шепелявый леший».

Суффикса в фамилии нет — это застывшая форма прозвища, не склоняемая по падежам как типичная русская фамилия на -ов или -ин. Такие «голые» прозвища встречаются в основном на Русском Севере, в Поморье и в Сибири, куда переселенцы приносили архаичную лексику. В центральных губерниях подобную фамилию, скорее всего, переделали бы в Шеврекуков или Шеврекукин — но этого не произошло, значит, фамилия бытовала в среде, где прозвищная модель была привычной.

Встречается и другая, менее убедительная версия: от украинского «шеврик» (сапожник) и «кука» (палка, кочерга). Но тогда логичнее ждать форму Шеврикука или Шеврекука с ударением на «у», а не на «е». К тому же украинские фамилии редко сохраняют двусоставное прозвище без суффикса в такой записи. Так что севернорусское происхождение надёжнее.

Сословно носители Шеврекука, скорее всего, были государственными или черносошными крестьянами — в дворянских родословных книгах и купеческих гильдиях такая фамилия не фиксируется. Встречается она крайне редко: по открытым данным, несколько семей живут в Архангельской области и в Забайкалье, что косвенно подтверждает версию о северном корне и поздней миграции в Сибирь.

Итог: если ваши предки — Шеврекука, они, вероятно, происходят из среды архангельских или вологодских крестьян, а прозвище им дали за манеру говорить сквозь зубы и при этом сжимать кулак. Никакой «коровьей ноги» или «шевроле» — только живая народная речь.