Фамилия Шлягинский — одна из тех, что сразу привлекают внимание суффиксом -ский. В русской ономастике этот суффикс почти всегда указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но в данном случае он, скорее всего, не несёт сословной нагрузки. Такие фамилии массово получали выходцы из духовенства (семинаристы) и жители западных регионов Российской империи, где -ский был типовым окончанием для любой фамилии, независимо от происхождения. Но всё же первое, что бросается в глаза — основа «Шлягин-», а не «Шляг-». Это намекает на то, что фамилия образована не напрямую от прозвища, а от более ранней фамилии или отчества.

Скорее всего, Шлягинский — это вторичная форма, то есть «фамилия от фамилии». В основе лежит отчество Шляга (уменьшительное от имени или прозвища), от которого сначала образовалась фамилия Шлягин (по модели «чей?» — Шлягин сын). А уже затем, по аналогии с польскими или малороссийскими фамилиями на -ский, её переделали в Шлягинский. Такое нередко случалось при переходе из крестьянского или мещанского сословия в духовное: семинаристу давали «благородно звучащую» фамилию на -ский, взяв за основу фамилию отца или деда. Если это так, то исходное прозвище Шляга могло означать человека, который «шляется» — бродягу, шатуна, или, наоборот, ловкого, бывалого человека. В некоторых говорах «шляга» — это ещё и вид кирки или молота, но для прозвища это значение маловероятно: ремесленные прозвища обычно давались по более конкретным инструментам.

Есть и другая, более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть от географического названия. В Польше и Беларуси встречаются топонимы вроде Шляги, Шлягино, от которых по польской модели образовали бы Шлягинский (сравните: Вильна — Виленский). В таком случае предок был либо владельцем, либо уроженцем такого места. Эта версия правдоподобнее первой, потому что объясняет наличие суффикса -ский без искусственной «семинарской» переделки: в тех краях фамилии на -ский давали по названию усадьбы или деревни, и они не обязательно были дворянскими — их носили и крестьяне, переселившиеся в город.

Фамилия редкая, в современных справочниках почти не встречается. Основные носители, судя по архивным записям XIX века, жили в Могилёвской и Витебской губерниях — на стыке современных Беларуси и России. Это косвенно подтверждает западнорусское или белорусское происхождение. Если ваш предок был Шлягинским, то с высокой вероятностью он происходил из семьи мелкопоместной шляхты или из духовенства, а корни ведут в земли бывшего Великого княжества Литовского.