Фамилия Штиру — редкая и неочевидная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не связано с русским языком, искать в ней славянский корень бессмысленно. Самая вероятная версия — немецкое или голландское происхождение, от слова Steuer, что значит «руль», «штурвал» или «налог». В первом значении фамилия могла быть прозвищем штурмана или рулевого — человека, который стоял у штурвала. Во втором — сборщика податей или чиновника, ведавшего налогами. В немецком языке слово Steuer многозначно, и фамилия Штиру (Steuer) могла возникнуть в любой из этих профессиональных сфер.

Обратите внимание на окончание. Фамилия не склоняется по падежам как типичная русская (Штиров, Штирин), а застыла в форме, характерной для немецких фамилий, попавших в русскую среду без переделки. Это типичный случай для обрусевших немцев, переселенцев из Германии или прибалтийских немцев, которых в России было немало, особенно начиная с XVIII века. Встретить носителей фамилии Штиру можно было в Поволжье, в немецких колониях, или в Петербурге, где служило много иностранных специалистов.

Менее вероятна, но теоретически возможна версия, связывающая фамилию с идишем или ивритом. В еврейской среде Штиру могло быть вариантом фамилии Штир, образованной от названия города Штир (Stryj) на западе Украины. Однако такое окончание на «у» для ашкеназских фамилий нетипично, поэтому эта гипотеза слабее.

Словообразовательная модель здесь проста: основа — немецкое существительное, которое стало прозвищем, а затем и фамилией, перешедшей в русский контекст без изменений. Фамилия не имеет суффикса, свойственного русским фамилиям, что сразу выдает её иноязычное происхождение. Поэтому, если ваши предки носили фамилию Штиру, скорее всего, они были либо моряками, либо чиновниками немецкого происхождения, переселившимися в Российскую империю.