Фамилия Синилкин образована по классической русской модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — Синилкин, то есть сын или потомок Синилки. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Синилка. Само слово «синилка» в русских говорах имело два основных значения: уменьшительно-ласкательное название птицы синицы (от «синица» через суффикс -к-) либо название растения — синильника, из которого добывали синюю краску. Первое значение — птичье — более вероятно для прозвища: так могли назвать человека невысокого роста, подвижного, голосистого или с ярко-синими глазами. Птичьи прозвища в крестьянской среде были обычным делом, их давали по внешности или повадкам.

Вторая версия — профессиональная. Синилкой или синильником называли красильщика тканей в синий цвет. Однако от слова «синильник» ожидалась бы фамилия Синильников, а не Синилкин. Суффикс -к- в основе Синилка может быть уменьшительным, а не профессиональным, поэтому версия с прозвищем от птицы выглядит предпочтительнее. Фамилия недворянская, встречается преимущественно в центральных и северных областях России, где синица — обычная птица, а прозвища по птицам были особенно распространены в среде крестьян и посадских людей.

Словообразовательный ряд прозрачен: Синилка → Синилкин. Обратите внимание, что фамилия стоит в ряду других «птичьих» фамилий на -ин: Сорокин, Воробьин, Галкин, Соловьин. Но Синилкин — более редкая, чем, например, Синицын, что говорит о локальном бытовании исходного прозвища. Встречаются варианты написания с одной «л» — Синилкин, и с двойной — Синилкинн, но нормативной и исторически верной считается форма с одной «л», так как суффикс -к- не удваивается. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками из средней полосы России, а прозвище досталось от предка, которого в деревне за глаза называли Синилкой — за сходство с юркой синицей.