Фамилия Слизковская — это женская форма фамилии Слизковский, и её разбор стоит начать с суффикса, который сразу указывает на географическое происхождение. Суффикс -ск- в русских фамилиях (как и в польских, украинских, белорусских) чаще всего образовывался от названий населённых пунктов или владений. То есть первый носитель фамилии Слизковский, скорее всего, был либо родом из места под названием Слизково, Слизков или Слизки, либо владел таким имением.

Основа фамилии — «Слизк-» — ведёт к прозвищу или имени Слизок, Слизко. В русских говорах слово «слизкий» означало скользкий, но в качестве прозвища оно могло относиться к человеку увёртливому, скользкому в общении, либо, наоборот, к тому, кто постоянно падал или поскальзывался. Впрочем, есть и более прозаичная версия: прозвище Слизок могли дать человеку, работавшему с чем-то слизистым, например, с рыбой (чистильщику или торговцу) или с глиной (гончару). В ономастике фамилии с основой «слиз-» встречаются нечасто, что делает Слизковскую довольно редкой.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшей Речи Посполитой — современным Беларуси, Украине и восточной Польше. Там топонимы Слизково или Слизки встречаются в старых метриках и картах. В России фамилия могла появиться после разделов Польши или в результате миграции шляхты и крестьян. Интересно, что фамилия Слизковский могла принадлежать и мелкой шляхте: суффикс -ский в польской традиции был характерен для дворянских фамилий, образованных от названий усадеб. Поэтому предки носительницы фамилии могли быть не просто крестьянами, а однодворцами или обедневшими шляхтичами, сохранившими родовое прозвание по месту жительства.

Итог простой: Слизковская — это фамилия, которая рассказывает о месте (деревня Слизково) или о прозвище предка (Слизок). Второй вариант, с прозвищем, кажется более универсальным, но именно привязка к конкретному селу в западных губерниях даёт более точный ответ на вопрос «откуда пошла фамилия».