Фамилия Соварцев — это, скорее всего, фонетический вариант более распространённой фамилии Саварцев. Такая замена гласной в первом слоге не редкость: в устной речи «а» и «о» в безударной позиции звучат одинаково, поэтому при оформлении документов букву могли записать по-разному. Основа у обеих фамилий общая — прозвище Саварец.

Прозвище Саварец, в свою очередь, восходит к названию населённого пункта Саварка, который находится в Богуславском районе Киевской области Украины. Так в старину называли выходца из этого села. Подобная модель именования — по месту прежнего жительства — была очень распространена: человек, переехавший в другое место, получал прозвище по названию родной деревни или города, и оно закреплялось за ним и его потомками.

Сам топоним Саварка исследователи выводят из древнерусского слова «sěverъ», то есть «север». В южнославянских языках это слово видоизменилось и звучало как «савар» или «совар». Таким образом, название деревни, а вслед за ней и прозвище человека, могло указывать на северное происхождение первопоселенцев или просто на географическое положение относительно какого-то другого центра.

Суффикс -ев в фамилии Соварцев указывает на принадлежность: Соварцев буквально означает «сын Соварца», где Соварец — ещё одна форма того же прозвища. Получается цепочка: название деревни Саварка → прозвище жителя Саварец (или Соварец) → фамилия потомков Соварцевы. Со временем форма с буквой «о» в начале закрепилась как самостоятельная фамилия, хотя её носители и носители фамилии Саварцев, вероятно, имеют общих предков.