Фамилия Совешаева — редкая и с точки зрения словообразования нестандартная. Её основа — «Совеш» — не имеет очевидной параллели в современном русском языке, поэтому разбирать фамилию стоит не с корня, а с её модели и вероятных исторических источников.

Суффикс -аев указывает на притяжательную форму, характерную для русских фамилий, образованных от прозвищ или личных имён, оканчивающихся на мягкий согласный или на -ай. В данном случае основа «Совеш» могла быть прозвищем, которое, в свою очередь, возникло из двух возможных источников.

Первая и наиболее вероятная версия — связь с диалектным словом «совесть» или его производными. В северных и центральных говорах России бытовали формы «совешный», «совестный» — то есть совестливый, честный, добросовестный. Прозвище Совеш могли дать человеку с обострённым чувством справедливости, который «по совести жил». Тогда Совешаев — потомок Совеша, то есть «сын совестливого». Это объясняет и редкий корень: в литературном языке слово «совесть» не дало бы фамилии с -ш-, но в диалектах стяжение «ст» в «ш» — явление обычное (ср. «пущай» вместо «пускай»).

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование, — связь с тюркскими корнями. В языках Поволжья (татарском, башкирском) существует слово «сәүәш» (säwäş) — «торговля», «базар», или же личное имя Совеш, образованное от этого корня. В таком случае фамилия могла принадлежать потомкам выходцев из татарской или башкирской среды, которые обрусели и приняли православие, а фамилию оформили по русской модели с суффиксом -аев. Однако эта гипотеза слабее: фамилии на -аев от тюркских основ обычно сохраняют ударение на последнем слоге (как в фамилии Ахмадеев), а в фамилии Совешаева ударение, скорее всего, падает на второй слог — «Совеша́ев», что характерно для русских диалектных форм.

Географически фамилия тяготеет к Центральной России и Поволжью: её можно встретить в архивах Нижегородской, Костромской и Кировской областей. Это регионы, где активно бытовали диалектные формы и где происходило смешение русского и финно-угорского (а позже и тюркского) населения. Социально предки Совешаевых, вероятнее всего, были крестьянами или посадскими людьми, а не дворянами: фамилия не фиксируется в родословных книгах и не имеет известных дворянских ветвей.

Таким образом, фамилия Совешаева, скорее всего, произошла от диалектного прозвища Совеш — «совестливый человек», и её носители — потомки людей, которых в деревне выделяли за честность и порядочность. Тюркская версия менее убедительна, но полностью исключать её нельзя — для точного ответа нужно знать конкретное место происхождения семьи.