Фамилия Совершаев — одна из тех, что сразу привлекает внимание своей глагольной основой. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, образованных от имён, прозвищ или названий профессий, здесь в корне лежит глагол «совершать». На слух это звучит почти как фамилия-лозунг, но на деле её происхождение куда прозаичнее и уходит корнями в старые русские говоры.

Самый вероятный источник — прозвище Совершай. В диалектах русского языка, особенно в северных и сибирских областях, слово «совершать» имело не только книжное значение «исполнять, делать», но и более конкретные смыслы. В архангельских и вологодских говорах «совершать» означало «кончать, завершать дело», а также «управлять, распоряжаться». Прозвище Совершай могли дать человеку расторопному, умеющему доводить начатое до конца, либо тому, кто брал на себя роль распорядителя, «совершателя» общих дел. Встречается и ироничный оттенок: так могли назвать медлительного работника, над которым подшучивали: «Ну когда ты уже совершишь?».

Суффикс -ев указывает на типичную модель образования русских фамилий от основ на мягкий согласный или на -й. Фамилия Совершаев — притяжательное прилагательное, отвечавшее на вопрос «чей?»: сын Совершая. Форма на -ев, а не на -ов, закрепляет за основой мягкое произношение. Это одна из самых распространённых моделей в центральной России, но в сочетании с редкой глагольной основой она даёт уникальный результат.

Географически фамилия тяготеет к северу. По данным современных исследований, наибольшая концентрация Совершаевых фиксируется в Архангельской области и в бывших северных уездах Вологодчины. Это косвенно подтверждает диалектную версию: именно в этих краях слово «совершать» бытовало в бытовом, а не только в высоком значении. Встречается фамилия и на Урале, куда её могли занести переселенцы с Русского Севера.

С точки зрения словообразования, Совершаев стоит в одном ряду с фамилиями типа Думаев, Знаев, Смекаев. Все они образованы от глагольных форм повелительного наклонения или от основ, близких к инфинитиву, что для русской ономастики редкость. Обычно такие прозвища давались «по делу»: человек делал что-то характерное, и это становилось его именем. Совершаев — не исключение: предок носителя этой фамилии, скорее всего, запомнился окружающим как исполнительный, дельный мужик, за что и получил своё прозвище.

Другие версии, например, связь с церковнославянским «совершитель» (священник, совершающий таинство), выглядят менее убедительными. Фамилии от церковных терминов обычно оканчиваются на -ский (Совершительский) или имеют иную морфологию. Простая форма на -ев указывает именно на мирское, бытовое происхождение.