Фамилия Стэшенко — украинская по своему происхождению, и это видно по суффиксу -енко, который в XVI–XVII веках закрепился на землях современной Центральной и Восточной Украины как основной способ образования фамилий. Суффикс -енко (а также его фонетические варианты вроде -єнко) изначально означал «сын» или «потомок», поэтому Стэшенко — это буквально «сын Стэша».

Основа фамилии, Стэш-, — это, скорее всего, сокращённая народная форма крестильного имени. В православной традиции наиболее вероятным полным именем является Евстафий (греч. «устойчивый», «крепко стоящий»). В украинской и белорусской среде это имя давало множество производных: Сташ, Стась, Стэсь, Стэш. Вариант Стэш (через «э») — характерная южнорусская и украинская огласовка, где мягкий звук передаётся через «е» или «э». Реже, но тоже возможно, что основа восходит к имени Станислав (польское «славный в стане»), которое также сокращали до Стэша, особенно на западе Украины и в приграничных с Польшей регионах.

Географически фамилия Стэшенко тяготеет к левобережной Украине, в первую очередь к Полтавщине и Черниговщине. Именно там фамилии на -енко встречаются особенно часто, и там же фиксируются ранние письменные упоминания подобных форм. В дореволюционных ревизских сказках и метрических книгах XIX века Стэшенко встречаются в основном среди казацкого и крестьянского сословий, что типично для этой модели: фамилии на -енко массово получили казаки и свободные крестьяне, а не дворяне.

Написание фамилии с буквой «э» (Стэшенко) — не ошибка, а фонетическое отражение произношения. В украинском языке после шипящих и твёрдых согласных звук [е] часто звучит как нечто среднее между «е» и «ы», и при переходе фамилии в русскую письменность его могли записать и как «Стеше́нко», и как «Стэшенко». Встречаются также варианты Стешенко (с обычной «е») — это самая частая орфографическая параллель. Если вы ищете предков, стоит проверять оба написания, поскольку в документах одного и того же человека могли писать по-разному даже в пределах одного уезда.