Фамилия Сулыменко — характерный пример украинской модели фамилий на -енко, самой распространённой в этой ономастике. Суффикс -енко исторически означал «маленький», «сын» или «потомок», поэтому Сулыменко — это буквально «сын Сулымы» или «потомок Сулымы». Основа фамилии — прозвище Сулыма, которое и требует разбора.

Корень «сул-» в украинских и южнорусских говорах имеет несколько значений. Самое вероятное — связь с глаголом «сулити» (обещать). Сулима — человек, который много обещает, «обіцяльник», возможно, с оттенком хвастовства или неисполнительности. В старых актах XVI–XVII веков слово «сулима» фиксируется как прозвище для говорливого, склонного к обещаниям человека. Менее вероятная, но возможная версия — от тюркского «сулу» (красивый) с адаптацией к славянскому окончанию, но для украинской среды эта гипотеза слабее.

Фамилия Сулыменко бытует преимущественно в центральной и левобережной Украине — на Черниговщине, Полтавщине, Сумщине. Это зона наибольшей концентрации фамилий на -енко. В России она встречается реже, обычно как след переселения украинских крестьян или казаков в XVIII–XIX веках. Социальная среда — казацкая или крестьянская: фамилии на -енко в XVII–XVIII веках активно закреплялись за реестровыми казаками, мещанами и свободными крестьянами, в отличие от польских фамилий на -ский или русских на -ов.

Интересная деталь: фамилия Сулыменко не имеет отношения к известному атаману Ивану Сулиме (хоть и созвучна). Тот носил фамилию Сулима, а не Сулыменко, и его потомки обычно оставались Сулимами или получали польские окончания. Сулыменко — это самостоятельная «патронимическая» ветвь, образованная от другого человека с тем же прозвищем. В документах XIX века встречаются варианты написания через «и» — Сулименко, что связано с аканьем в южных говорах, но исторически верная форма именно через «ы», сохраняющая древнее произношение корня.

Таким образом, ваш предок по мужской линии, скорее всего, был украинским казаком или крестьянином, которого в округе знали как Сулыму — человека, склонного к обещаниям, возможно, красноречивого или хвастливого. Его дети стали Сулыменками, а фамилия закрепилась в документах после ревизий XVIII века.