Фамилия Свижая — редкий случай, когда прилагательное в женском роде стало фамилией и закрепилось именно в такой форме. Чаще всего подобные фамилии (Добрая, Кривая, Белая) встречаются на юге России, в Белоруссии и на Украине, где долго сохранялась традиция называть женщину по её собственному качеству или прозвищу, а не по мужу. В случае Свижая мы имеем дело не с «чьей-то женой», а с прямой характеристикой человека.

Корень «свиж-» в русских говорах имеет два основных значения. Первое — «сырой, влажный, недозрелый». В северных и центральных областях «свижью» называли сырую погоду, болотистую почву или невызревший хлеб. Второе, более редкое — «свежий» в диалектном произношении: где-то «свижий» означало то же, что и «свежий», но с местным фонетическим сдвигом. Таким образом, Свижая могла быть прозвищем женщины, которая жила у сырого места, работала с мокрым товаром (например, рыбой или глиной) или, наоборот, отличалась бодростью и свежестью — в зависимости от говора.

Суффикс «-ая» здесь не родовой, а словообразовательный: он превращает прилагательное в субстантивированную форму, то есть в фамилию-прилагательное. В официальных документах XIX века такие фамилии часто записывали без изменений по падежам («он Свижая», «у Свижая»), пока не начали переоформлять на мужской вариант «Свижий» или «Свижов». Тот факт, что фамилия сохранилась в женском роде, говорит о том, что предок-женщина была самостоятельным носителем прозвища, либо фамилия закрепилась за целым родом в форме, данной по матери.

В ономастических справочниках фамилия Свижая не упоминается у Унбегауна или Веселовского — это говорит о её крайней локальности. Вероятнее всего, она возникла в одном из говоров Псковщины, Смоленщины или Белорусского Поозерья, где слово «свижо» (сыро, мокро) было в ходу. Сравните с фамилиями Свижов, Свижевский — они образованы от того же корня, но по другой модели. Свижая — самая архаичная и прямая форма: прозвище, не тронутое суффиксами принадлежности.

Если искать аналогию, то Свижая стоит в одном ряду с фамилиями Сухая, Мокрая, Гнилая — все они описывают среду обитания или свойство человека. В случае Свижая, скорее всего, речь о женщине, жившей на сырой низине, у болота или на берегу, где земля «свижла» (отсыревала). Это не статусная фамилия, а бытовая, крестьянская — она прямо говорит о месте или занятии, без намёка на дворянство или духовенство.