Фамилия Сягина — женская форма, а её основа, мужская фамилия Сягин, образована по простой и распространённой модели: к основе, чаще всего прозвищу или имени, добавлялся суффикс принадлежности -ин, указывающий на «сына такого-то» или «человека из семьи такого-то». В данном случае корень — «Сяг-». Это сразу заставляет искать исходное слово, которое могло стать прозвищем.

Самая вероятная версия связывает фамилию с диалектным глаголом «сягать» или «сягнуть». В русских говорах, особенно северных и сибирских, это означало «доставать», «дотягиваться», «шагать», а также «мерить шагами». Прозвище Сяга могли дать человеку длинноногому, высокому, с размашистой походкой — тому, кто «сягает» широко. В некоторых областях слово «сяг» означало шаг или меру длины, равную шагу, так что прозвище могло относиться к землемеру или просто к человеку, который всё мерил на глаз.

Менее распространённая, но не менее интересная версия — происхождение от древнерусского имени Сяга, которое могло быть сокращённой формой от Святослав или другого имени с началом «Свя-». В старину такие усечения были обычны: Святослав мог превратиться в Свягу, а затем в Сягу. Однако эта гипотеза менее надёжна, так как в письменных источниках имя Сяга встречается редко, а диалектный глагол «сягать» фиксируется гораздо шире.

Суффикс -ин указывает, что фамилия относится к типично русскому типу, который в XVI–XVII веках закреплялся в основном за крестьянами и посадскими людьми. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от крестильных имён, -ин чаще присоединялся к прозвищам, оканчивающимся на -а, -я. Таким образом, предок носителя фамилии Сягин, скорее всего, был человеком из крестьянской или ремесленной среды, получившим прозвище за свою стать или походку.

Если копнуть глубже, у фамилии есть редкая особенность: корень «сяг» родственен общеславянскому *sęg-, от которого произошли слова «досягать», «посягать», «присягать» (буквально «дотрагиваться до чего-то»). В древности это слово имело юридический оттенок — «присягать» означало «дотянуться до священного предмета» при клятве. Так что, хотя основная версия бытовая, теоретически прозвище Сяга могло закрепиться за человеком, который приводил к присяге или славился верностью слову. Но это уже область предположений без твёрдых подтверждений.

Географически фамилия Сягин и её производные чаще всего встречаются в центральных и северных областях России, особенно в бывших Владимирской, Костромской и Вологодской губерниях — как раз там, где диалектный глагол «сягать» был в ходу до XX века.