Фамилия Сыверина звучит редко и непривычно, но её происхождение укладывается в несколько чётких моделей. Главная загадка — основа «Сывер». Скорее всего, это не искажённое «Север» и не вариант фамилии Северянин. В русских говорах слово «сывер» или «сыверка» означало холодный, пронизывающий ветер, стужу, а также северный склон холма. Такое прозвище могли дать человеку с суровым, неприветливым нравом либо тому, кто жил на открытой всем ветрам возвышенности.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Сыверина — буквально «дочь или жена Сыверы». В русской антропонимии фамилии на -ин образуются от основ, оканчивающихся на -а или -я. Прозвище Сывера могло быть мирским именем, не связанным с крестильным, и закрепиться за родоначальником. Важно, что фамилия женского рода — Сыверина, а мужская форма будет Сыверин (хотя в быту часто склоняют оба варианта как одинаковые).

Есть и другая, менее вероятная гипотеза: связь с диалектным «сывер» в значении «глухарь» или «тетерев» (в некоторых северных говорах). Тогда прозвище относилось к охотнику или к человеку, чем-то напоминавшему эту птицу. Но версия с ветром и холодом надёжнее: она шире распространена в ономастике, и слово «сывер» в значении «стужа» фиксируется в словарях русских народных говоров.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России — Архангельской, Вологодской, Костромской, где слово «сывер» было в ходу. Встречается она нечасто, что говорит о локальном бытовании прозвища. Сословная принадлежность предков могла быть разной: от крестьян до мелких служилых людей, но без генеалогических изысканий точнее сказать нельзя.

В написании фамилии возможны варианты через «и» (Сыверина) и реже через «е» (Северина), но второй случай чаще связан с именем Северьян или с понятием «север». Ваш вариант с «ы» — более архаичный и диалектный, он сохраняет исходное звучание прозвища. Если ищете корни, стоит обратить внимание на переписи населения XIX века в северных уездах: там фамилия может фигурировать как Сыверин или Сыверины.