Фамилия Тамойкин — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Самое простое и логичное объяснение: она образована от прозвища или нецерковного имени Тамойка. Такая форма могла возникнуть от глагола «тамоить» — в некоторых русских говорах это означало «таиться, прятаться, скрываться». Тамойкой могли прозвать скрытного, нелюдимого человека или, наоборот, того, кто любил секретничать и делать всё втихомолку. Суффикс -к- в прозвище — уменьшительный или пренебрежительный, а -ин в фамилии указывает на принадлежность: «сын Тамойки».

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с диалектным словом «тамо» (там) или «тамой» (тамошний, местный). В этом случае Тамойка — прозвище пришлого человека, которого называли «тамошним», то есть нездешним. В пользу этой гипотезы говорит то, что в русских говорах слово «тамой» действительно фиксируется как «тамошний, оттуда». Однако прозвища от местоимений в русской ономастике встречаются реже, чем от глаголов или имён.

Географически фамилия Тамойкин тяготеет к южнорусским областям — её фиксируют в Воронежской, Ростовской областях, а также на Кубани. Это косвенно подтверждает связь с южнорусскими говорами, где глагол «тамоить» и слово «тамой» были в ходу. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или казачья: суффикс -ин типичен для фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я в среде простого сословия.

В написании фамилии возможна путаница с более распространённой Тамойкин/Тамойкина, но вариант с буквой «о» после «м» — основной. Встречается также написание «Тамойкин» через «а» (Тамайкин), но это уже другая словообразовательная модель. Если ваши предки — Тамойкины, то, скорее всего, они происходят из среды воронежских или донских крестьян, а прозвище родоначальника было связано или с характером («скрытный»), или с местом («пришлый»).