Фамилия Тавшанжи — один из тех редких случаев, когда русская по форме фамилия несёт в основе тюркское слово, но с неожиданным греческим следом. Разберём её по частям.

Корень «тавшан» (или «таушан») восходит к тюркскому tavşan — «заяц». В тюркских языках это слово могло быть прозвищем быстрого, пугливого или ловкого человека. Однако в русских фамилиях такая основа почти не встречается в чистом виде, а здесь она осложнена суффиксом, который сразу выдаёт географию. Суффикс -жи характерен для фамилий, сформировавшихся в среде греков Приазовья, Крыма и юга Украины (урумов и румеев). В греческом языке суффикс -τζής (-dzis) обозначал принадлежность к профессии или роду занятий, а в русской передаче он превратился в -жи. Таким образом, Тавшанжи — это не просто «заяц», а «заячий» или «тот, кто имеет отношение к зайцу»: возможно, охотник на зайцев, торговец зайчатиной или человек с прозвищем Заяц.

Самая правдоподобная версия: фамилия сложилась в греко-тюркской среде. Предки носителя фамилии — скорее всего, греки-урумы, которые говорили по-тюркски, но пользовались греческой моделью образования фамилий. Встречается она в основном на юге России и в Украине, особенно в бывшей Таврической губернии и в греческих сёлах Донбасса (например, в Старом Крыму или окрестностях Мариуполя). Других версий, например, связи с тюркским «тавшан» в значении «кролик» или с арабским корнем, нет — они слабы и не подтверждаются ономастикой.

Словообразовательная модель здесь уникальна: тюркская основа + греческий суффикс, адаптированный русским окончанием. Это делает фамилию Тавшанжи редким памятником смешения культур в Причерноморье. Если вы её носитель, то с большой вероятностью ваши предки — приазовские греки, которые получили фамилию по прозвищу или занятию в XIX веке, когда фамилии закреплялись официально.