Фамилия Теплинсий почти наверняка содержит опечатку: правильное написание — Теплинский. В русской ономастике суффикс «-ский» указывает на географическое происхождение или принадлежность к местности, поэтому искать корни стоит в названии населённого пункта. Основа «Тепл-» отсылает к слову «теплый», но не в прямом бытовом смысле, а как часть топонима.

Наиболее вероятная версия — происхождение от названия села или деревни с корнем «Тепл-». Таких на карте бывшей Российской империи несколько: Теплое (Тульская, Орловская, Липецкая области), Тепловка (много в Украине и Поволжье), Теплица (в Польше и Беларуси). Человек, переселившийся из такого места, получал прозвание «Теплинский» — то есть «выходец из Теплого/Тепловки». Модель образования типична для польской и западнорусской шляхты: дворяне часто брали фамилии по названию своего имения.

Менее распространённый вариант — связь с ремеслом. В северных говорах «теплин» могло означать человека, который топит печи или работает в бане (от «теплить» — обогревать). Однако суффикс «-ский» редко крепится к профессиональным прозвищам простолюдинов — он больше характерен для прилагательных, образованных от географических названий. Поэтому версия с прозвищем слабее.

Интересная деталь: фамилия Теплинский встречается в основном у поляков, украинцев и евреев (как вариант Теплицкий). В еврейской традиции она могла возникнуть от местечка Теплик (Винницкая область Украины) — там до Холокоста существовала крупная еврейская община. Таким образом, носитель фамилии мог быть потомком как православного крестьянина из-под Тулы, так и мещанина из украинского местечка — без дополнительных генеалогических данных точную ветвь не определить.