Фамилия Терегеря — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с конкретным занятием, а не с внешностью или характером. В ней слышен украинский или белорусский говор: суффикс -еря (вроде Мазуреня, Костогрыз) характерен для западнорусских земель, а основа «терег» или «терегти» ведёт к глаголу «теребить» — то есть дёргать, очищать, обрабатывать что-то руками. Самый прямой смысл — «теребильщик», человек, который занимался ручной обработкой льна или пеньки: выдёргивал волокно, очищал его от костры. Это тяжелая, монотонная работа, и прозвище могло закрепиться за тем, кто ею кормился.

Менее очевидная, но тоже возможная версия — связь с диалектным «терег» в значении «шум, суета, переполох». В таком случае Терегеря — прозвище беспокойного, суетливого человека, который вечно «теребит» окружающих. Однако первая гипотеза выглядит убедительнее: ремесленные прозвища на -еря в восточнославянской ономастике встречаются часто и обычно прямо указывают на профессию (ср. Кожемяка, Швец, Ткач). Фамилия не получила широкого распространения, её география тяготеет к юго-западу бывшей Российской империи — современным Украине и Беларуси, где обработка льна была традиционным крестьянским промыслом.

В написании фамилии нет вариативности: Терегеря пишется через «е» в первом слоге, ударение, скорее всего, падает на второй слог (Тереге́ря), хотя в устной речи встречается смещение на первый. В отличие от фамилий на -ов/-ев, она не склоняется по мужскому роду как прилагательное — остаётся неизменной и для мужчин, и для женщин. Это типичная модель для украинских и белорусских фамилий, которые застыли в форме прозвища или профессии без патронимического суффикса.