Фамилия Терекаев — редкий случай, где прозрачная, на первый взгляд, основа обманчива. Если отбросить распространённый тюркский суффикс принадлежности -ев, остаётся корень «Терекай». Самое очевидное, что приходит в голову, — река Терек. Однако в тюркских языках, откуда происходит фамилия, слово «терек» имеет два значения: это и «тополь», и «река». В казахском, башкирском, татарском языках «терек» — прежде всего дерево. Поэтому фамилию Терекай могли дать либо по месту жительства у реки Терек, либо по прозвищу от слова «тополь» (высокий, стройный человек). Но есть и третий, менее очевидный вариант: имя Терек (или Терекей) могло быть производным от арабского имени Терек, означающего «оставляющий след», «наследник». В таком случае фамилия образована от личного имени, которое давали мальчикам с пожеланием оставить после себя потомство.

По модели образования фамилия Терекаев — типичная для народов Поволжья и Урала. Суффикс -ев (а не -ов) указывает на мягкую или шипящую основу. В русской среде такие фамилии закрепились у татар, башкир, казахов, но могли возникнуть и у русских, если предок был из мест, где жили тюрки. Географически фамилия тяготеет к Оренбуржью, Башкортостану и Татарстану, реже встречается в Чечне и Дагестане (где Терек — река, но фамилия могла быть записана иначе, как Тереков).

Социальный срез: в дореволюционных записях Терекаевы чаще всего числились государственными крестьянами или тептярами (сословие в Башкирии). Дворянских родов с такой фамилией нет, что подтверждает её народное, прозвищное происхождение. Интересно, что в русских говорах слово «терек» иногда означало «упрямец», «непокладистый человек», но это, скорее, случайное совпадение, а не основа фамилии.

В итоге: вероятнее всего, первый Терекай был либо человеком по прозвищу Тополь (за рост или стать), либо жителем берега реки Терек, либо носителем тюркского имени с пожеланием наследника. Установить точное значение без генеалогического исследования конкретной семьи невозможно, но все три версии имеют под собой реальную лингвистическую почву.