Фамилия Терепищая — редкий случай, когда мы почти наверняка можем восстановить исходное прозвище по глаголу, причём не самому очевидному. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев или -ин, эта образована по модели причастия или отглагольного прилагательного женского рода: Терепищая буквально значит «та, которая теребит». Основа — глагол «теребить» (дёргать, тормошить, мять, а в диалектах — также «чесать лён» или «очищать зерно»). Суффикс -ящ- типичен для форм действительного причастия настоящего времени (ср. «работающая», «поющая»), и здесь он застыл в фамилии. Такая словообразовательная модель встречается нечасто: обычно фамилии от причастий давались без родового окончания (Теребящий, Ходящий), но форма женского рода могла закрепиться, если прозвище относилось к женщине — главе семьи, вдове или хозяйке, от которой пошла фамилия.

Вероятнее всего, прозвище Терепищая получила женщина с беспокойным, суетливым характером — «теребила» всех вокруг, либо, что не менее правдоподобно, та, чьим постоянным занятием была обработка льна или шерсти: теребить лён, трепать, чесать — тяжёлая женская работа. В северных и центральных губерниях России слово «теребить» в этом значении было в ходу, поэтому географически фамилия могла возникнуть в зоне льноводства — Ярославской, Костромской, Вологодской или Тверской областях. Фамилия недворянская, крестьянская или ремесленная; её носители, скорее всего, принадлежали к податным сословиям.

Известных исторических деятелей с такой фамилией нет, что типично для прозвищных фамилий, не попавших в родословные книги. В современных справочниках она тоже крайне редка — единичные записи, в основном на юге России и Украине, что может быть следствием поздней миграции или искажения исходной формы (например, из Теребещая или Терепящая). Если у вас есть устное семейное предание, связывающее фамилию с «тереблением» чего-то или кого-то, оно, скорее всего, верно: корень прозрачен, и народная этимология здесь совпадает с научной.