Фамилия Терепищий — редкий пример, где основа и суффикс не складываются в привычную картину. На слух она кажется украинской или южнорусской: окончание -ий характерно для фамилий-прилагательных (как Тяжкий, Бродячий). Но если присмотреться к корню, начинаются вопросы.

Самое прямое объяснение — от глагола «терепить» или «терепити». В южных и западных говорах это слово означало «торчать», «торопиться», «суетиться» или «делать что-то неловко, неуклюже». В украинском языке есть «терепити» — «нести чушь», «болтать вздор». Следовательно, прозвище Терепищий могли дать человеку суетливому, говорливому или тому, кто вечно лезет не в своё дело. Модель образования проста: основа глагола в действительном причастии настоящего времени (терепящий) перешла в фамилию без изменений. Такое встречается у прозвищ, которые закрепились за человеком по его характерному поведению.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным «тереп» (обрывок, лоскут, клок). Тогда Терепищий — тот, кто ходит в рваной одежде, оборванец. Однако в этом случае ожидалась бы фамилия Терепов или Терепкин, а не причастная форма.

Географически фамилия почти не встречается в официальных базах данных и переписях. Это указывает либо на её крайнюю редкость, либо на сильное искажение при записи. Возможно, первоначальная форма была Терепящий (с буквой «я»), но в документах закрепился вариант через «и» из-за аканья или ошибки писаря.

Словообразовательный суффикс -ий здесь не родовой (как у русских фамилий на -ов/-ин), а адъективный — такой тип характерен для украинской и польской традиции. Поэтому логичнее всего считать фамилию Терепищий украинской по происхождению, с корнем из бытовой лексики. Никаких дворянских корней или связи с известными историческими личностями за ней не прослеживается — перед нами прозвище простого человека, которое сохранилось в единичных семьях.