Фамилия Терменжи — редкий случай, когда основа не славянская, а тюркская, и при этом фамилия оформлена по русской модели. Разберём её по частям.

Корень «термен» восходит к тюркскому слову «тарман» или «термен» — в разных диалектах это означает «мельница». В татарском, башкирском, карачаево-балкарском языках «термен» — именно мельница, а «терменжи» — это человек, работающий на мельнице, мельник. Суффикс «-жи» в тюркских языках обозначает профессию или род занятий, как, например, в слове «кюйжи» (исполнитель кюя) или «сазчи» (музыкант). Таким образом, Терменжи — это буквально «мельник».

Фамилия образована не по типичному для России патронимическому принципу (от имени отца), а от прозвища по профессии. Окончание на «-и» (а не на «-ов» или «-ин») указывает на то, что фамилия могла быть зафиксирована в документах в своей исходной тюркской форме, без русификации. Встречаются варианты написания: Терменджи, Тирменжи, что связано с особенностями произношения в разных тюркских диалектах.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где исторически жили тюркские народы: Поволжье (Татарстан, Башкортостан), Северный Кавказ (особенно Карачаево-Черкесия и Кабардино-Балкария), а также Крым. Встречается она и у русских, но, скорее всего, как следствие смешанных браков или переселения. Носители фамилии могли быть не просто мельниками, а владельцами водяных или ветряных мельниц — занятие это было уважаемым и доходным.

С точки зрения словообразования, интересно, что фамилия не получила типичного русского суффикса принадлежности. Если бы её русифицировали, мы бы имели Терменжин или Терменжев. Сохранение исходной формы говорит о том, что фамилия вошла в русский обиход относительно поздно, уже в XIX—XX веках, когда переписчики не стремились переделывать иноязычные прозвища на славянский лад. В словарях тюркских фамилий (например, в работах А. Суперанской) «термен» устойчиво связывается с мельничным делом.

Таким образом, предок носителя фамилии Терменжи с высокой вероятностью был мельником — человеком, который молол зерно, содержал мельницу или работал на ней. Фамилия сохранила память о ремесле и о тюркском происхождении рода.