Фамилия Тершуковаа — редкий случай, когда написание бросается в глаза раньше, чем корень. Двойное «а» на конце сразу же настораживает: в русских фамилиях такой финал нестандартен. Скорее всего, перед нами не опечатка и не сознательное украшательство, а результат адаптации фамилии в документах. В русской традиции фамилии на -ов/-ев и -ин в женском роде получают окончание -а: Тершуков → Тершукова. Двойное «аа» могло возникнуть при записи фамилии в паспорте или свидетельстве, если чиновник на слух воспринял ударную гласную как долгую (что бывает в некоторых говорах) или просто механически повторил букву. Поэтому для начала стоит признать: нормативная форма фамилии — Тершуков (мужская) и Тершукова (женская), а вариант с двумя «а» — скорее графическая особенность конкретного носителя.

Основа фамилии — Тершук. Это типичная восточнославянская модель, где суффикс -ук/-юк указывает на принадлежность или родство: «сын Терша» или «потомок Терша». В украинской и белорусской традиции такие фамилии особенно распространены, но встречаются и в южнорусских областях. Имя Терша — это народная, разговорная форма от канонического имени Терентий (от латинского Terentius, вероятно, связанного с «тереть» или с родовым именем). Уменьшительно-ласкательные формы вроде Терша, Терш, Тершук были обычны в крестьянской среде: полное имя использовали в церкви, а в быту — сокращённое.

Вторая версия, менее вероятная, — связь с прозвищем Терш. В русских говорах слово «терш» могло означать нечто трущее, скребущее (ср. «терка», «тереть»). Прозвище могли дать человеку сварливому, въедливому или, наоборот, занимающемуся ремеслом, связанным с трением (например, точильщику). Но для фамилии, образованной от прозвища, логичнее было бы окончание -ин (Тершин), а не -ук. Поэтому версия с именем Терентий выглядит убедительнее.

Суффикс -ук в фамилии Тершуков (а значит, и в Тершуковаа) чётко указывает на географию: это юго-западный ареал — Украина, Белоруссия, Брянская, Смоленская, Курская области. В этих краях фамилии на -ук не просто фиксировали отчество, а часто закрепляли за целым родом: «Тершуки» — это люди из семьи Терша. Носители фамилии Тершуковаа (в нормативной форме Тершуковы) с большой вероятностью происходят из крестьянского сословия: именно в крестьянской среде такие патронимические фамилии на -ук закрепились в XIX веке при массовом учёте населения. Дворянских родов с такой моделью практически не было.

Итог простой: фамилия Тершуковаа — это женская форма от Тершуков, где двойное «а» — ошибка записи. Основа — Тершук, то есть «сын Терша», а Терш — сокращение от Терентий. Предки — крестьяне или ремесленники с юго-запада России или с территории современной Украины. Если когда-нибудь встретится форма Тершукова без лишней буквы — это и есть правильный вариант.