Фамилия Терзаев образована от прозвища или нецерковного имени Терзай. В основе лежит древнерусский глагол «терзать» — рвать, раздирать, мучить. На первый взгляд значение кажется негативным, но в ономастике такие прозвища нередко давали не по характеру, а по обстоятельствам: например, человеку, который занимался выделкой кож или трепал лен (то есть «терзал» волокно). В этом случае Терзай — ремесленное прозвище, а не обидная характеристика.

Суффикс -ев указывает на притяжательное значение: Терзаев — сын Терзая. По модели образования фамилия типична для русских фамилий на -ев, которые возникали от основ на мягкий согласный или -й. В данном случае основа на -ай, что характерно для прозвищной формы (ср. Болтай, Ломай, Решай). Такие имена-прозвища были распространены в северных и центральных областях России, особенно в XV–XVII веках.

Спорных версий немного. Иногда фамилию связывают с тюркским корнем, но это маловероятно: никаких параллелей в тюркских языках, близких по звучанию и значению, нет. Правдоподобнее всего — чисто славянская основа, связанная с трудом или бытовым действием.

Встречаемость фамилии невысокая. По данным переписей и телефонных справочников, Терзаевы чаще всего фиксируются в Поволжье — в Самарской, Ульяновской областях и в Татарстане. Возможно, это следствие миграций крестьян в XIX веке. В дворянских родословных книгах фамилия не значится: носители, скорее всего, происходили из крестьян или посадских людей.

Однокоренные фамилии — Терзанов, Терзалов — встречаются реже. Вариант Терзаев остался основным, без диалектных изменений в суффиксе. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, занимался ремеслом, связанным с обработкой волокнистых материалов, или же получил прозвище по какой-то бытовой особенности, которая со временем забылась.