Фамилия Тимиршаяхов — один из тех редких случаев, когда можно почти наверняка определить не только корни, но и социальный контекст её появления. Она явно тюркского происхождения, причём не татарского, а скорее кавказского или среднеазиатского ареала. Основа здесь — мужское имя Тимиршаях (или Темиршаях), которое сложено из двух частей: «тимир» (железо) и «шаях» (шах, правитель). В буквальном переводе — «железный правитель» или «правитель, крепкий как железо». Такие имена-композиты были популярны у народов, где исламские традиции смешивались с местными культами силы и твёрдости.

Словообразовательная модель проста: к основе Тимиршаях добавили русский патронимический суффикс -ов. Это стандартный способ русификации фамилий в XIX–XX веках, когда представители нерусских народов получали документы, и их отчества превращали в фамилии. То есть Тимиршаяхов буквально означает «сын Тимиршаяха». Интересно, что суффикс -ов здесь вытеснил местные патронимические окончания (например, кумыкское -ов, которое тоже встречается, но в русской записи), и это указывает на то, что фамилия оформлена уже в русскоязычной административной среде.

Географически фамилия тяготеет к северокавказскому региону, особенно к Дагестану и Чечне. У кумыков и ногайцев имя Темиршах (вариант Тимиршах) встречается как личное, а фамилия Тимиршаяхов фиксируется именно в кумыкской среде. Это важно: кумыки — тюркоязычный народ, исторически живший на равнинах Дагестана, и у них фамилии на -ов (-ев) — норма, а не исключение. В отличие от, скажем, чеченских или ингушских фамилий, где суффикс -ов часто искусственный, у кумыков он органичен.

Есть и более редкая версия, что в основе лежит не имя, а прозвище, данное человеку за твёрдость характера или железную хватку. Но она менее вероятна: составные имена с компонентом «шах» (шах, падишах) в тюркской ономастике — устойчивая традиция, и прозвища такой формы почти не встречаются. Так что ваш предок, скорее всего, носил имя Тимиршаях и был человеком заметным — либо воином, либо старейшиной, раз имя подчёркивало власть и силу.