Фамилия Трембошевская — редкий случай, когда написание сразу бросается в глаза и заставляет задуматься: не опечатка ли это? На первый взгляд она похожа на польскую фамилию с типичным суффиксом -евск-/-овск-, но корень «Трембош» в русском языке не встречается. При этом в написании явная ошибка: верная форма — Трембошевская (через «е» после «ш»), а не «Трембошевксая» (буква «к» перед «с» — описка, которая могла возникнуть при переписи или в паспортном столе). Встречается и вариант Трембашевская, что даёт ключ к разгадке.

Скорее всего, в основе лежит прозвище или профессия. «Трембаш» или «трембош» — это искажённое украинское или белорусское «трембіта» (гуцульский духовой инструмент, длинная деревянная труба). В Карпатах и на Западной Украине трембитарями называли пастухов, которые подавали сигналы этим инструментом. Фамилия могла образоваться от прозвища Трембаш — так могли прозвать человека, который играл на трембите, либо того, кто был высоким и худым, напоминая этот длинный инструмент. Суффикс -евск- указывает на дворянское или шляхетское происхождение: в Речи Посполитой такие фамилии часто получали при переходе в шляхту или при получении герба. Однако не исключено, что фамилию просто русифицировали по польскому образцу, добавив -ский к уже готовому прозвищу.

Географически фамилия Трембошевская почти не встречается в современных базах данных — это единичные случаи, в основном на западе Украины и в приграничных с Польшей районах Беларуси. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был выходцем из Галиции или Волыни, а в XIX веке мог переселиться в центральные губернии Российской империи. Род занятий предков — крестьяне или мелкая шляхта, ремесленники, связанные с музыкой или скотоводством.

Есть и менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть от личного имени Трембош — варианта крестильного имени Варфоломей (в народной форме Бартоломей, Бартош). Но для этого нет убедительных исторических примеров, а связь с музыкальным инструментом выглядит логичнее и подтверждается диалектной лексикой.