Фамилия Третейкина образована от мирского имени Третейка — так в старину называли третьего ребёнка в семье. Это имя, в свою очередь, восходит к числительному «три» и относится к древней традиции счётных имён, которые давали детям до распространения привычных нам календарных имён. Третейкой могли назвать как третьего сына, так и третьего ребёнка вообще, если родители хотели подчеркнуть его порядковый номер в семье.

В основе фамилии лежит не каноническое церковное имя, а именно мирское прозвище. Такие имена, как Первой, Второй, Третьяк или Третейка, были широко распространены в русских деревнях вплоть до XVII–XVIII веков. Они помогали различать людей внутри большой семьи или рода, где имена часто повторялись. Число три при этом имело и особое символическое значение в народной культуре — оно считалось счастливым и божественным, поэтому имя Третейка могло нести и пожелание удачи, а не только указывать на порядок рождения.

Фамилия Третейкин закрепилась за потомками человека по имени Третейка по типичной для русских фамилий модели: к основе добавили суффикс -ин, который указывает на принадлежность («чей ты?» — Третейкин, то есть сын или внук Третейки). А форма Третейкина — это женский вариант той же фамилии, который в современном русском языке используется для женщин.

Интересно, что однокоренные фамилии — Третьяков, Третьяковский, Третейкин — встречаются в разных регионах России, но все они восходят к одному корню «трет-». Однако Третейкин — более редкая форма, чем, например, Третьяков. Это может говорить о том, что она закрепилась в конкретной местности или даже в одном роду, не получив широкого распространения. Точных данных о географии фамилии мало, но сам тип образования характерен для северных и центральных русских говоров, где мирские имена сохранялись дольше всего.