Фамилия Третейкин — это классический пример русской отчества-фамилии, образованной от мирского имени Третейка. В основе лежит порядковое числительное «третий»: так на Руси называли третьего сына в семье или третьего ребёнка вообще. Такой способ именования был широко распространён до повсеместного введения христианских имён, когда ребёнку давали не церковное, а бытовое, «домашнее» имя — часто по порядку рождения. Второго сына звали Втораком или Вторым, четвёртого — Четвертаком, а третьего — Третейкой.

Суффикс -кин указывает на принадлежность: Третейкин буквально означает «сын Третейки». Это уменьшительно-притяжательная модель, характерная для северных и центральных русских говоров, где формы на -ин и -кин встречались чаще, чем на юге. Интересно, что фамилия сохранила именно архаичную форму имени с суффиксом -ейк-, тогда как в современном языке мы бы скорее ожидали «Третьяков» или «Третьяков» — от полной формы «Третьяк». Кстати, фамилия Третьяков, известная по знаменитой галерее, образована от того же корня, но иным путём: там основой послужило имя Третьяк, а не уменьшительное Третейка. Это родство часто упускают из виду, хотя оно помогает понять, что перед нами — не редкое исключение, а часть целого пласта «порядковых» фамилий: Перваков, Вторушин, Четвертаков, Шестаков.

Существует и вторая, менее очевидная версия: имя Третейка могло отражать не порядок рождения, а символику числа три в народной культуре — троичность, полноту, удачу. В этом случае прозвище могло быть пожелательным или обережным. Но эта гипотеза выглядит слабее: в русской ономастике подавляющее большинство подобных имён всё же связано с порядком появления детей, поэтому версия о третьем ребёнке остаётся основной. Тем более что в старинных документах встречаются записи, где Третейками называли именно третьих сыновей, иногда с уточнением «в семье».

Сам по себе факт, что фамилия не стала массовой и сохранилась в относительно небольшом числе семей, говорит о её древнем локальном происхождении. Скорее всего, предки носителей фамилии жили в северных или центральных губерниях России, где подобные именования были особенно популярны. Со временем имя Третейка забылось, а фамилия осталась — и теперь напоминает о том, что в роду когда-то появился третий ребёнок, чьё имя закрепилось за всеми потомками.