Фамилия Третинко — яркий пример украинской модели образования фамилий, и её разбор стоит начать именно с суффикса. Формант -ко — один из самых распространённых в украинской ономастике. Он выполнял уменьшительно-ласкательную или, чаще, патронимическую функцию, то есть отвечал на вопрос «чей?»: Третинко — сын или потомок человека по прозвищу Третяк.

Корень фамилии — «трет(ь)-», напрямую связанный с числительным «третий». В славянской традиции прозвища по порядку рождения были обычным делом. Третяком называли третьего ребёнка в семье. Это не имя в современном смысле, а внутрисемейное прозвище, которое закреплялось за человеком на всю жизнь, а потом переходило к его детям. Аналогичные фамилии — Третьяков, Третьяченко, Третяк. Таким образом, ваш предок по мужской линии, скорее всего, был третьим сыном у своих родителей.

География фамилии указывает на её украинское происхождение. Суффикс -ко особенно характерен для центральных и восточных областей Украины, а также для юга России, куда переселялись украинские крестьяне. Встречается фамилия и в Беларуси, но с меньшей частотой. Сословной принадлежности у такой фамилии, как правило, не было — прозвища по порядку рождения давали в крестьянской и казачьей среде, реже среди мещан. Дворянских родов с фамилией Третинко не зафиксировано.

Интересная деталь: написание фамилии через «и» (Третинко, а не Третенко) может указывать на определённый диалект или на то, что прозвище Третяк в некоторых говорах звучало как «Третiн» или «Третин» — с последующим добавлением суффикса -ко. Впрочем, это лишь одна из версий, не имеющая строгого подтверждения. Более вероятно, что перед нами обычное фонетическое видоизменение основы «Третьяк» → «Третин» под влиянием местного произношения.

В целом, фамилия Третинко — прозрачная и однозначная по смыслу. Она не таит загадок и не требует сложных этимологических реконструкций. Ваш предок был третьим сыном, и это обстоятельство оказалось настолько важным для его окружения, что стало родовым именем.