Фамилия Циберной — редкий случай, когда географическое ударение спорит с языковой логикой. Если судить по написанию, перед нами форма родительного падежа множественного числа: Циберной — это «из дома Циберных». Такое окончание (-ых, -их) типично для северных и сибирских фамилий, которые фиксировали принадлежность к целому роду: «чей?» — «Циберных». Со временем в документах окончание могло устояться как Циберной, но произноситься по-прежнему как Циберны́х.

Основа фамилии — «цибер». Это слово в русских говорах почти не встречается, но есть версия, что оно восходит к немецкому Zieber или Ziber — прозвищу человека с необычной походкой (от диалектного глагола «циберн» — семенить, идти мелкими шагами). В XVIII–XIX веках в Поволжье и на юге России оседали немецкие колонисты, и фамилии на -ой у них — не редкость (сравните Шмидт — Шмидтой, Фишер — Фишерой). Циберной могло быть русифицированной формой немецкой фамилии, которую при переписи записали на русский лад.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным «циба» (насекомое, мошка) или «цибарка» (ведро, бадья). В этом случае Циберной — прозвище человека, имевшего отношение к ведрам или к мелкой, назойливой работе. Но такая гипотеза слабая: суффикс -ер- в русских прозвищах нехарактерен, а фамилий от «цибарка» не зафиксировано.

Фамилия крайне редкая. В современных базах данных она встречается единично, преимущественно на юге России и в Краснодарском крае — как раз в зонах позднего заселения и смешения языков. Если ваши предки носили Циберной, скорее всего, они были либо переселенцами из немецких колоний, либо жителями северных областей, где фамилии на -ых записывали с искажением окончания. Точнее сказать без архивного поиска сложно — слишком мало материала.