Фамилия Цугай почти наверняка имеет в основе прозвище, а не церковное имя. Скорее всего, оно восходит к слову «цуг» — так в старину называли упряжку, когда кони или волы шли гуськом, друг за другом, а также вереницу телег или саней, движущихся след в след. Человек, получивший такое прозвище, мог быть извозчиком или возницей, который управлял именно такой упряжкой. Это «профессиональное» именование закреплялось за родом занятий и переходило к потомкам уже как фамилия.

Модель образования проста: к основе «цуг» добавили типичный для прозвищ суффикс -ай, который придавал слову более личное, даже шутливое звучание. Подобным образом в русском языке образовывались и другие прозвища, указывавшие на характерную черту или занятие человека. Так что Цугай — это буквально «тот, кто при цуге», то есть при упряжке.

Существует и другая, менее распространённая версия, которая ведёт фамилию к названию швейцарского города Цуг. В таком случае прозвище Цугай мог получить выходец из этой местности. Однако эта гипотеза выглядит слабее: слишком далеко от привычного ареала русских фамилий лежит швейцарский кантон, и для её подтверждения нет достаточных исторических данных. Версия с извозчиком и упряжкой правдоподобнее, поскольку опирается на живую лексику русского языка и понятную логику прозвищ.

Фамилия Цугай встречается нечасто, и это как раз тот случай, когда за ней стоит не географическая привязка, а конкретный человек, чьё занятие или привычка дали начало родовому имени.