Фамилия Цвеклинская звучит как типичная «географическая» фамилия польского или западнорусского образца. Суффикс -ск-/-цк- указывает на дворянское или шляхетское происхождение: такую фамилию чаще всего получали по названию родового поместья или местечка. В основе лежит топоним Цвеклин или Цвеклино — несколько деревень с таким именем действительно существуют в исторических землях Речи Посполитой (например, в современной Польше есть населённый пункт Cweklin, а на территории бывшей Гродненской губернии — урочище Цвеклино). Форма на -ская — женская, но в русской традиции она закрепилась и за мужчинами (Цвеклинский) как единый вариант для всей семьи.

Корень «цвекл-» прозрачен: это диалектное или устаревшее название свёклы. В польском языке «ćwikła» — это свёкла, а в украинских и белорусских говорах «цвекла» или «цвеколь» означает то же самое. Таким образом, первичное прозвище Цвекла могли дать человеку, который выращивал или торговал свёклой, либо по цвету лица (красный, как свёкла). Со временем прозвище закрепилось за потомками как фамилия Цвеклинский, а затем и Цвеклинская.

В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев, эта фамилия редкая и локальная. Она почти не встречается в центральной России — её носители сосредоточены в западных областях: на Смоленщине, в Брянской области, а также в Беларуси и на востоке Польши. В XIX веке фамилия могла принадлежать мелкой шляхте или однодворцам — потомкам служилых людей, которые владели небольшими участками земли. Дворянские грамоты с такой фамилией не зафиксированы в общероссийских родословных книгах, что говорит о её скромном социальном статусе.

В написании возможна вариативность: Цвеклинский/Цвеклинская, реже Цвекленский. Окончание -ая в женском роде — результат адаптации польской формы под русскую грамматику. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из западнорусских или польско-литовских земель, а их ремесло или прозвище было связано с огородничеством или торговлей корнеплодами.