Фамилия Цвеклинский — классический пример фамилии-ориентира, которая указывает на географическое происхождение. Она образована по продуктивной модели с суффиксом -ский, который в польской, украинской и белорусской традициях крепился к названиям населённых пунктов, чтобы обозначить «тот, кто родом оттуда». В основе фамилии лежит топоним Цвеклин (Cwieklin, Cweklino) или Цвеклино. Несколько таких деревень есть в Польше (Люблинское, Подляское воеводства) и на западе Беларуси (Гродненская область). Так что предок носителя фамилии, скорее всего, был либо шляхтичем, владевшим таким поместьем, либо крестьянином, которого записали по месту жительства.

Корень фамилии — «цвекл» — в славянских языках обычно связан со свёклой (польское cwikla, украинское цвекло). Прямое прозвище «Цвекла» или «Цвекло» могли дать человеку за цвет лица, любовь к этому овощу или за то, что он его выращивал. Однако в случае с фамилией на -ский первичным почти наверняка было название села. Само село могло получить имя по речке, по первому поселенцу с таким прозвищем или по местному диалектному слову, обозначавшему болотистую, сырую низину (в некоторых говорах «цвеклый» — «заплесневелый, отсыревший»).

Фамилия редкая, и её носители в Российской империи встречались преимущественно на западных окраинах — в Гродненской, Минской, Волынской губерниях. После разделов Речи Посполитой многие дворяне с такими фамилиями подтверждали своё шляхетское происхождение и вносились в родословные книги. Встречаются варианты написания: Цвеклинский, Цвеклински, реже — Цвекленский. В польском варианте фамилия звучала бы как Ćwikliński, но из-за особенностей кириллической передачи мягкость могла утратиться.

Однокоренные фамилии — Цвеклин, Цвеклов, Цвекловский — встречаются ещё реже и, как правило, имеют более простое происхождение (от прозвища, а не от топонима). Таким образом, Цвеклинский — не случайное прозвище, а фамилия, которая ведёт к конкретному месту на карте, и если у вас есть возможность покопаться в метрических книгах Гродненщины или Люблинщины, шансы найти своих предков довольно высоки.