Фамилия Цыклинская — это вариант, который сразу обращает на себя внимание суффиксом -ск-. Он указывает на то, что перед нами не просто прозвище, а фамилия, образованная от географического названия. Такие фамилии в среде русского дворянства и духовенства (а также польской шляхты) часто означали «выходец оттуда-то» или «владелец такого-то поместья». В данном случае основа — Цыклин или Цыкля.

Скорее всего, исходным топонимом было село или деревня с названием Цыкля, Цыклино или Цыклин. Такие названия встречаются в западных регионах бывшей Речи Посполитой — на территории современной Беларуси, Украины или Польши. Корень «цык-» может быть звукоподражательным (цыкать — издавать резкий звук) или восходить к диалектному слову «цыкля» — так в некоторых говорах называли цыплёнка или мелкую птицу. Возможно, прозвище Цыкля дали человеку с тонким, резким голосом или невысокому, вертлявому.

Мужской вариант фамилии — Цыклинский. Женская форма на -ая, как и мужская на -ий, типична для фамилий польского или западнорусского происхождения, где топонимический суффикс -ск- стал основным способом оформления дворянских и шляхетских родовых имён. Однако это не значит, что носительница фамилии обязательно из дворян: в XIX веке такие фамилии активно давали в духовных училищах и семинариях, переделывая мирские прозвища учеников на «благородный» лад.

В современной России фамилия редкая. Её носительниц можно встретить в центральных областях и на юге, но чаще — в среде потомков переселенцев из западных губерний. Если ваша фамилия именно Цыклинская, а не Цыклинская с другим ударением, то наиболее вероятная версия — происхождение от названия небольшого хутора или деревни, где предки жили несколько веков назад.