Фамилия Цюрак — редкий случай, когда географический и языковой след почти полностью перекрывает морфологический разбор. Суффикс -ак (в мягком варианте -як) в восточнославянских фамилиях обычно указывает на прозвище по характерному признаку: «кривой» — Криворук, «хромой» — Хромяк. Но с основой «цюр-» всё сложнее — в русских говорах такого корня нет.

Самая вероятная версия ведёт на запад, в польский и украинский языки. Польское «cur» или «cura» означает «пёс» (в старом, не бранном значении), а «curka» — сучка. Отсюда «цюрак» могло быть прозвищем человека, похожего на собаку: либо упрямого и злого, либо, наоборот, верного и преданного. В украинском языке есть слово «цюра» — тот же корень, иногда с оттенком «слуга» или «подхалим». Подобные прозвища не редкость: вспомните польские фамилии Цур, Цурек, Цура.

Менее распространённая, но тоже возможная версия — связь с диалектным «цюрать» (шептать, ворчать). Если предок был неразговорчив или постоянно бурчал себе под нос, его могли прозвать Цюраком. Однако эта гипотеза слабее: глагол редкий и локальный, а собачья тема в славянских прозвищах встречается куда чаще.

Фамилия явно несёт отпечаток западных земель. Скорее всего, её носители жили на границе украинских и польских территорий — Волынь, Подолье, Галичина. В России Цюраки встречаются единично, в основном как след миграции XIX–XX веков. Суффикс -ак не дворянский, а крестьянский или мещанский: такие фамилии закреплялись за простыми людьми, часто по прозвищу, без привязки к роду занятий.

В итоге: фамилия Цюрак — это прозвище, скорее всего, связанное с собакой (польск. cur), данное человеку за черту характера. Редкая, локальная, западнорусского или польского происхождения.