Фамилия Туйнас — редкая и неочевидная для русского уха. Первое, что бросается в глаза: в ней нет привычного фамильного суффикса -ов, -ин или -ский. Это наталкивает на мысль, что перед нами не исконно русская модель, а фамилия, застывшая в форме, близкой к исходному слову. Скорее всего, она имеет финно-угорское или прибалтийско-финское происхождение, что для Севера и Северо-Запада России — обычное дело.

В основе лежит, вероятно, карельское или вепсское слово «tuinas» или «tuinaz». В диалектах карельского языка так называли ветреную, неустойчивую погоду, метель или пургу. Человек по прозвищу Туйнас мог получить его за резкий, порывистый характер или, что более вероятно, за профессию, связанную с работой в такую погоду — например, ямщик, почтальон или рыбак на открытых озерах. Вторая, менее распространенная версия, возводит основу к «tuija» — туя, хвойное дерево. Тогда прозвище могло указывать на место жительства у заметного дерева или на занятие лесным промыслом.

В русских документах фамилия могла появиться через приходские записи в Олонецкой губернии, Архангельской области или на Кольском полуострове, где карельское и вепсское население активно смешивалось с русскими. Отсутствие суффикса говорит о том, что фамилия закрепилась в той форме, в которой её записал священник или писарь, не адаптируя под русскую грамматику. Встречаются варианты написания Туйназ, Туйнасс, но все они редки.

Сравнение с однокоренными фамилиями вроде Туйков, Туйнов не работает — у них другая основа, от имени Туй (сокращённая форма от Артемий или Матвей). Туйнас стоит особняком. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в метрических книгах по югу Карелии, Прионежью или в Поморье. В сословном плане это почти наверняка были государственные крестьяне или мещане — дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.