Фамилия Улюкаева — женская форма от Улюкаев, и её разбор упирается в редкую основу, которая не лежит на поверхности. В отличие от типичных фамилий на -ов/-ев от крестильных имён, эта образована от прозвища или диалектного слова, и здесь есть простор для версий.

Самый надёжный путь — тюркский корень «улюк» или «улек». В ряде тюркских языков (татарском, башкирском) «үләк» — это «подарок», «взятка» или «плата за невесту» (калым). Прозвище Улюкай могли дать человеку щедрому, либо, напротив, тому, кто промышлял поборами. Суффикс -ай в тюркских именах и прозвищах — ласкательный или уменьшительный (ср. Кудай, Токай), так что Улюкай — это «подарочек» или «калымщик» в переносном смысле. Фамилия на -ев указывает на русского носителя, усвоившего тюркское прозвище отца.

Менее вероятная, но возможная версия — от глагола «улюлюкать» (кричать, подзывая собак или отпугивая зверя). Прозвище Улюкай мог получить крикливый или шумный человек. Однако глагол этот звукоподражательный и редкий в основе фамилий, а тюркская версия подкрепляется географией: фамилия встречается в Поволжье и на Урале, где веками жили тюркские народы.

Среди носителей фамилии наиболее известен Алексей Улюкаев — российский экономист и политик, но для этимологии это не имеет значения. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская, и её редкость (около 2–3 тысяч человек в России) говорит о локальном происхождении.

Короче: предок носителя фамилии Улюкаев получил прозвище Улюкай от тюркского «улек» (подарок) — возможно, за щедрость или, наоборот, за мздоимство. Суффикс -ай смягчал прозвище, а -ев сделал его русской фамилией. Точной даты возникновения нет, но процесс шёл в XVI–XVII веках, когда русские фамилии массово оформлялись на основе прозвищ.