Фамилия Верщуков — редкий случай, когда основа неочевидна на слух, а суффикс указывает на чёткую модель образования. Это типичная русская патронимическая фамилия на -ов, то есть «чей?» — «сын Верщука». Вопрос упирается в прозвище Верщук.

Самая вероятная версия связывает Верщука с диалектным словом «верша» — рыболовная снасть-ловушка, плетёная из прутьев. Мастер, делавший верши, или рыбак, который ими промышлял, получал прозвище Верщук. Уменьшительно-пренебрежительный суффикс -ук (как в Павлюк, Бондарчук) указывает на западнорусские или украинские говоры, где такие формы особенно распространены. В русском языке этот суффикс тоже встречается, но реже.

Менее убедительная версия — от глагола «вершить» (решать, заканчивать) или «вершить суд». Тогда Верщук мог быть прозвищем судьи или человека, который «вершил дела». Однако такое толкование натянуто: от «вершить» естественнее образовались бы фамилии Вершилов, Вершинин, а не Верщук.

Встречается вариант написания Верщуков с буквой «ё» (Верщуков), но ударение почти всегда падает на последний слог — Верщуко́в. Географически фамилия тяготеет к южным областям России и Украине, что подтверждает «рыболовную» версию с украинским оттенком. Встречается она нечасто, в основном в Краснодарском крае, Ростовской области и на востоке Украины. Если ваш предок носил прозвище Верщук, он, скорее всего, был либо плетельщиком рыболовных снастей, либо жил у реки и промышлял ловлей рыбы.