Фамилия Верюгина — женская форма, а её основа — мужская фамилия Верюгин. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать мужской вариант, который образован с помощью суффикса -ин. Этот суффикс указывает на принадлежность: Верюгин означало «сын Верюги» или «человек из рода Верюги». В основе лежит прозвище или нецерковное имя Верюга.

Корень здесь — «вер-», который в русских говорах мог иметь совсем не то значение, что привычное «вера». В диалектах слово «верюга» или «верюга» фиксировалось в значении «ворчун», «брюзга», «нелюдимый человек». Человек, получивший такое прозвище, вероятно, отличался угрюмым нравом или был склонен к постоянному недовольству. Это типичная модель для русских фамилий: внешняя черта или особенность характера становилась прозвищем, а затем и фамилией.

Есть и другая, менее распространённая версия, которую приводят некоторые исследователи ономастики. В северных и сибирских говорах «верюга» могли называть высокого, нескладного человека, «верзилу». В этом случае прозвище описывало физическую особенность, а не характер. Оба варианта правдоподобны, но первый (ворчун) встречается в словарях диалектов чаще и надёжнее подкреплён лексикографическими данными.

Фамилия Верюгин — довольно редкая. Она почти не встречается в центральных и южных областях России, но имеет заметную привязку к северу: её фиксируют в Архангельской, Вологодской областях и в Пермском крае. Это косвенно подтверждает диалектное происхождение, так как именно в этих регионах слово «верюга» было в ходу. Сословного барьера у фамилии не было: Верюгины могли быть и крестьянами, и мещанами, и купцами, но в основном фамилия оставалась крестьянской.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то ближайшая параллель — Верютин (от «верюта», тоже «ворчун»). Верюгин от них отличается только суффиксальным оформлением, но смысловая основа та же. В современном русском языке исходное прозвище забылось, и фамилия звучит скорее как «имеющая отношение к вере», хотя на деле её корни лежат в народной бытовой характеристике человека.