Фамилия Вягис — редкий пример фамилии, образованной от личного имени или прозвища с помощью суффикса -ис. Такая модель характерна для литовской ономастики: суффикс -is в литовском языке оформляет имена существительные мужского рода, а в фамилиях часто указывает на происхождение от прозвища или имени отца. В русском контексте фамилия Вягис, скорее всего, сохранила литовское окончание без русификации, что говорит о её позднем закреплении или о том, что носители долго жили в зоне литовско-русского пограничья — на территории современных Литвы, Беларуси или Смоленщины.

Основа Вяг- может восходить к литовскому слову vėgėlė (налим) или vėgė (вялый, слабый). В первом случае прозвище Вягис могли дать рыбаку или человеку с чем-то общим с налимом — например, с усами или скользким характером. Во втором — прозвище указывало бы на медлительность или апатичность. Менее вероятна связь с глаголом vėgti (слабеть, увядать), но и она не исключена: в литовских говорах такие основы не редкость для прозвищ.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Вягис стоит особняком. В Литве встречается фамилия Вяга (Vėga) — более короткая форма, а также Вягелис (Vėgelis) с уменьшительным суффиксом. В русских документах XIX века фамилия Вягис почти не фиксируется: это говорит о её малочисленности и, вероятно, локальном бытовании. Если предки носили её до XX века, они, скорее всего, были крестьянами или мещанами западных губерний Российской империи — в среде, где литовские фамилии не заменяли на русские. Фамилия не получила распространения за пределами балтийского региона, и её носители сегодня — это, как правило, потомки тех, кто не менял окончание при переходе на русский язык.