Фамилия Вязельщикова — женская форма от Вязельщиков, а та, в свою очередь, образована от прозвища или профессионального названия Вязельщик. Разберём, что стоит за этой основой.

Корень здесь — «вяз-», который в русском языке имеет два основных значения: вязкое, клейкое вещество (отсюда «вязкий», «вязнуть») и дерево вяз. Однако в контексте фамилии ключевым оказывается первое значение, связанное с ремеслом. Вязельщиком в старину могли называть человека, который занимался вязкой чего-либо: например, вязальщика снопов, рыболовных сетей или верёвок. Но есть и более конкретная версия: в северных и центральных губерниях России «вязель» или «вязиль» — это растение из семейства бобовых (иначе — «мышиный горошек»), которое использовали для плетения или как корм. Вязельщиком могли прозвать крестьянина, заготавливавшего это растение, или того, кто вязал из него метёлки.

Суффикс «-щик» указывает на род занятий: так образовывали названия профессий (каменщик, печник, бондарь). Окончание «-ов» в мужской форме — типичный патронимический суффикс, означающий «сын Вязельщика» или «принадлежащий Вязельщику». Таким образом, Вязельщиков — это потомок человека, чьё прозвище или ремесло было связано с вязкой или вязелем.

Фамилия довольно редкая. Её географическая привязка, скорее всего, — северные или центральные области России, где было распространено растение вязель и где сохранились говоры с этим словом. В современных базах данных носители встречаются единично, что говорит о локальном происхождении: фамилия могла возникнуть в одной деревне или волости и не получить широкого распространения.

С точки зрения словообразования, Вязельщикова — пример прозвищной фамилии, которая застыла в форме, указывающей на занятие предка. В отличие от фамилий на «-ский», которые часто носили дворяне, эта фамилия крестьянская или посадская: «щик» — суффикс простых ремесленников. Если сравнивать с однокоренными — Вязников, Вязьмин, Вязовой — то Вязельщикова стоит особняком из-за редкого суффикса и конкретной профессиональной окраски.