Фамилия Вязгичева — женская форма от Вязгичев, а та, в свою очередь, образована от прозвища или нецерковного имени Вязгич. Чтобы понять её корни, нужно разобрать слово «вязгать». В русских говорах, особенно северных и вологодских, глагол «вязгать» означал «визжать», «плакать», «ныть» или «говорить гнусаво, в нос». Человек с таким прозвищем мог обладать резким, писклявым голосом или иметь привычку постоянно жаловаться и капризничать.

Словообразовательная модель здесь редкая и нестандартная. Суффикс -ич в основе (Вязгич) типичен для отчеств в древнерусском языке: «сын Вязги» или «Вязгин сын». Однако переход от Вязгич к фамилии Вязгичев произошёл не напрямую. Обычно фамилии на -ичев образуются от имён на -ик (Кузьмичев от Кузьмик), но здесь исходная форма — Вязгич. Возможно, промежуточным звеном было имя Вязгик, которое затем переосмыслили, или же фамилию записывали на слух, и «ч» в суффиксе закрепилось как дань старой традиции.

В говорах встречается и слово «вязга» — так называли плаксу, капризного ребёнка или даже брюзгливого старика. Поэтому прозвище Вязга могло даваться человеку с трудным характером или тем, кто постоянно хныкал. Фамилия Вязгичев, таким образом, буквально означает «потомок Вязги» или «сын Вязгича».

Фамилия редкая и географически привязана в основном к центральным и северным регионам России. Встречается в Тверской, Ярославской и Вологодской областях. В писцовых книгах XVI–XVII веков можно найти крестьян с прозвищем Вязга — например, в Бежецком Верхе упоминается крестьянин Вязга, что подтверждает народное, а не книжное происхождение фамилии. Сословно носители фамилии скорее всего были крестьянами или посадскими людьми, так как фамилии на -ичев у дворян встречаются редко, а основа прозвища слишком бытовая для аристократического круга.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с глаголом «вязать» (от «вязь», «вязка»). В таком случае Вязгич мог быть потомком человека, занимавшегося вязанием снопов, плетением корзин или даже строительством (вязка брёвен). Но фонетика против этой гипотезы: «вязгать» и «вязать» — разные корни, и переход «з» в «зг» в этом случае необъясним. Поэтому версия с визгливым голосом и капризным нравом остаётся основной.